Լուծեք {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=1$$

$$b=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4a երկու կողմերից:

$$-3a-4a=2b-3$$

Համակցեք -3a և -4a և ստացեք -7a:

$$-7a=2b-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{7} անգամ 2b-3:

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-2b+3}{7}-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2a-b=0:

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{-2b+3}{7}:

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

Գումարեք \frac{4b}{7} -b-ին:

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

Գումարեք \frac{6}{7} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{3}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=-2$$

Փոխարինեք -2-ը b-ով a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{7} անգամ -2:

$$a=\frac{4+3}{7}$$

Գումարեք \frac{3}{7} \frac{4}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$a=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=1,b=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4a երկու կողմերից:

$$-3a-4a=2b-3$$

Համակցեք -3a և -4a և ստացեք -7a:

$$-7a=2b-3$$

Հանեք 2b երկու կողմերից:

$$-7a-2b=-3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: a փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 0-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2a-ով:

$$-b=2a$$

Հանեք 2a երկու կողմերից:

$$-b-2a=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=1,b=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4a երկու կողմերից:

$$-3a-4a=2b-3$$

Համակցեք -3a և -4a և ստացեք -7a:

$$-7a=2b-3$$

Հանեք 2b երկու կողմերից:

$$-7a-2b=-3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: a փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 0-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2a-ով:

$$-b=2a$$

Հանեք 2a երկու կողմերից:

$$-b-2a=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

-7a-ը և -2a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -7-ով:

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

Պարզեցնել:

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

Հանեք 14a+7b=0 14a+4b=6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$14a-14a+4b-7b=6$$

Գումարեք 14a -14a-ին: 14a-ը և -14a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4b-7b=6$$

Գումարեք 4b -7b-ին:

$$-3b=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$b=-2$$

Փոխարինեք -2-ը b-ով -2a-b=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-2a=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$a=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=1,b=-2$$