Լուծեք {l}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 3x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+x-ով բազմապատկելու համար:

$$-9x+3y=2y+2x$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-9x+3y-2y=2x$$

Համակցեք 3y և -2y և ստացեք y:

$$-9x+y=2x$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$-9x+y-2x=0$$

Համակցեք -9x և -2x և ստացեք -11x:

$$-11x+y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 2x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-3y-ով բազմապատկելու համար:

$$-6x-3y=2x-6y$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Համակցեք -6x և -2x և ստացեք -8x:

$$-8x-3y=-6y$$

Հավելել 6y-ը երկու կողմերում:

$$-8x-3y+6y=0$$

Համակցեք -3y և 6y և ստացեք 3y:

$$-8x+3y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-11x+y=0$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$-11x=-y$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{11} անգամ -y:

$$x=\frac{1}{11}y$$

Փոխարինեք \frac{y}{11}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -8x+3y=0:

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

Բազմապատկեք -8 անգամ \frac{y}{11}:

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

Գումարեք -\frac{8y}{11} 3y-ին:

$$\frac{25}{11}y=0$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{25}{11}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով x=\frac{1}{11}y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 3x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+x-ով բազմապատկելու համար:

$$-9x+3y=2y+2x$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-9x+3y-2y=2x$$

Համակցեք 3y և -2y և ստացեք y:

$$-9x+y=2x$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$-9x+y-2x=0$$

Համակցեք -9x և -2x և ստացեք -11x:

$$-11x+y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 2x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-3y-ով բազմապատկելու համար:

$$-6x-3y=2x-6y$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Համակցեք -6x և -2x և ստացեք -8x:

$$-8x-3y=-6y$$

Հավելել 6y-ը երկու կողմերում:

$$-8x-3y+6y=0$$

Համակցեք -3y և 6y և ստացեք 3y:

$$-8x+3y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 3x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+x-ով բազմապատկելու համար:

$$-9x+3y=2y+2x$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-9x+3y-2y=2x$$

Համակցեք 3y և -2y և ստացեք y:

$$-9x+y=2x$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$-9x+y-2x=0$$

Համակցեք -9x և -2x և ստացեք -11x:

$$-11x+y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 2x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-3y-ով բազմապատկելու համար:

$$-6x-3y=2x-6y$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Համակցեք -6x և -2x և ստացեք -8x:

$$-8x-3y=-6y$$

Հավելել 6y-ը երկու կողմերում:

$$-8x-3y+6y=0$$

Համակցեք -3y և 6y և ստացեք 3y:

$$-8x+3y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

-11x-ը և -8x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -8-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -11-ով:

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

Պարզեցնել:

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

Հանեք 88x-33y=0 88x-8y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$88x-88x-8y+33y=0$$

Գումարեք 88x -88x-ին: 88x-ը և -88x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-8y+33y=0$$

Գումարեք -8y 33y-ին:

$$25y=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 25-ի:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով -8x+3y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-8x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=0$$