Լուծեք {l}{-10x-3y=9}{-5x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x - 3 y = 9 } \\ { - 5 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-10x-3y=9$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$-10x=3y+9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$x=-\frac{1}{10}\left(3y+9\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{10} անգամ 9+3y:

$$x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}$$

Փոխարինեք \frac{-3y-9}{10}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5x+5y=-2:

$$-5\left(-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}\right)+5y=-2$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{-3y-9}{10}:

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+5y=-2$$

Գումարեք \frac{3y}{2} 5y-ին:

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=-2$$

Հանեք \frac{9}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{13}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)-\frac{9}{10}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{10} անգամ -1:

$$x=\frac{3-9}{10}$$

Գումարեք -\frac{9}{10} \frac{3}{10}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{3}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{3}{65}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 9-\frac{3}{65}\left(-2\right)\\-\frac{1}{13}\times 9+\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

-10x-ը և -5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -10-ով:

$$-5\left(-10\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 9,-10\left(-5\right)x-10\times 5y=-10\left(-2\right)$$

Պարզեցնել:

$$50x+15y=-45,50x-50y=20$$

Հանեք 50x-50y=20 50x+15y=-45-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$50x-50x+15y+50y=-45-20$$

Գումարեք 50x -50x-ին: 50x-ը և -50x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y+50y=-45-20$$

Գումարեք 15y 50y-ին:

$$65y=-45-20$$

Գումարեք -45 -20-ին:

$$65y=-65$$

Բաժանեք երկու կողմերը 65-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով -5x+5y=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-5x+5\left(-1\right)=-2$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -1:

$$-5x-5=-2$$

Գումարեք 5 հավասարման երկու կողմին:

$$-5x=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=-\frac{3}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$