Լուծեք {l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=4$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: -x-y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -4 y-x-ով բազմապատկելու համար:

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Համակցեք y և -4y և ստացեք -3y:

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Բազմապատկեք -1 և -1-ով և ստացեք 1:

$$x-3y+4x=8$$

Համակցեք x և 4x և ստացեք 5x:

$$5x-3y=8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Գումարեք -1 և 6 և ստացեք 5:

$$3x+5+2y-5=20$$

Հանեք 5 5-ից և ստացեք 0:

$$3x+2y=20$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-3y=8$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=3y+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 3y+8:

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Փոխարինեք \frac{3y+8}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=20:

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{3y+8}{5}:

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

Գումարեք \frac{9y}{5} 2y-ին:

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

Հանեք \frac{24}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{19}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{5} անգամ 4:

$$x=\frac{12+8}{5}$$

Գումարեք \frac{8}{5} \frac{12}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: -x-y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -4 y-x-ով բազմապատկելու համար:

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Համակցեք y և -4y և ստացեք -3y:

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Բազմապատկեք -1 և -1-ով և ստացեք 1:

$$x-3y+4x=8$$

Համակցեք x և 4x և ստացեք 5x:

$$5x-3y=8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Գումարեք -1 և 6 և ստացեք 5:

$$3x+5+2y-5=20$$

Հանեք 5 5-ից և ստացեք 0:

$$3x+2y=20$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=4,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: -x-y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -4 y-x-ով բազմապատկելու համար:

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Համակցեք y և -4y և ստացեք -3y:

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Բազմապատկեք -1 և -1-ով և ստացեք 1:

$$x-3y+4x=8$$

Համակցեք x և 4x և ստացեք 5x:

$$5x-3y=8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Գումարեք -1 և 6 և ստացեք 5:

$$3x+5+2y-5=20$$

Հանեք 5 5-ից և ստացեք 0:

$$3x+2y=20$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

5x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

Պարզեցնել:

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

Հանեք 15x+10y=100 15x-9y=24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-9y-10y=24-100$$

Գումարեք -9y -10y-ին:

$$-19y=24-100$$

Գումարեք 24 -100-ին:

$$-19y=-76$$

Բաժանեք երկու կողմերը -19-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 3x+2y=20-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\times 4=20$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$3x+8=20$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=4$$