Լուծեք {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-2\right)^{2}:

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x-2y-ով բազմապատկելու համար:

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Համակցեք -4x և -2x և ստացեք -6x:

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Դիտարկեք \left(3-x\right)\left(3+x\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 3-ի քառակուսի:

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Հանեք 9 1-ից և ստացեք -8:

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Համակցեք x^{2} և -x^{2} և ստացեք 0:

$$-6x+4+4y=-8$$

Հանեք 4 երկու կողմերից:

$$-6x+4y=-8-4$$

Հանեք 4 -8-ից և ստացեք -12:

$$-6x+4y=-12$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-6x+4y=-12$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$-6x=-4y-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{6} անգամ -4y-12:

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Փոխարինեք \frac{2y}{3}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+y=4:

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{2y}{3}+2:

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

Գումարեք \frac{4y}{3} y-ին:

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{7}{3}y=0$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով x=\frac{2}{3}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-2\right)^{2}:

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x-2y-ով բազմապատկելու համար:

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Համակցեք -4x և -2x և ստացեք -6x:

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Դիտարկեք \left(3-x\right)\left(3+x\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 3-ի քառակուսի:

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Հանեք 9 1-ից և ստացեք -8:

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Համակցեք x^{2} և -x^{2} և ստացեք 0:

$$-6x+4+4y=-8$$

Հանեք 4 երկու կողմերից:

$$-6x+4y=-8-4$$

Հանեք 4 -8-ից և ստացեք -12:

$$-6x+4y=-12$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-2\right)^{2}:

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x-2y-ով բազմապատկելու համար:

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Համակցեք -4x և -2x և ստացեք -6x:

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Դիտարկեք \left(3-x\right)\left(3+x\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 3-ի քառակուսի:

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Հանեք 9 1-ից և ստացեք -8:

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Համակցեք x^{2} և -x^{2} և ստացեք 0:

$$-6x+4+4y=-8$$

Հանեք 4 երկու կողմերից:

$$-6x+4y=-8-4$$

Հանեք 4 -8-ից և ստացեք -12:

$$-6x+4y=-12$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

-6x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -6-ով:

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

Պարզեցնել:

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

Հանեք -12x-6y=-24 -12x+8y=-24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

Գումարեք -12x 12x-ին: -12x-ը և 12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y+6y=-24+24$$

Գումարեք 8y 6y-ին:

$$14y=-24+24$$

Գումարեք -24 24-ին:

$$14y=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 14-ի:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով 2x+y=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=0$$