Լուծեք {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Գումարեք 4 և 1 և ստացեք 5:

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Համակցեք x^{2} և -x^{2} և ստացեք 0:

$$4x+5=5y$$

Հանեք 5y երկու կողմերից:

$$4x+5-5y=0$$

Հանեք 5 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$4x-5y=-5$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x-5y=-5$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$4x=5y-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -5+5y:

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք \frac{-5+5y}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+y=1:

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-5+5y}{4}:

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Գումարեք \frac{15y}{4} y-ին:

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Գումարեք \frac{15}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{19}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Գումարեք -\frac{5}{4} \frac{5}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Գումարեք 4 և 1 և ստացեք 5:

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Համակցեք x^{2} և -x^{2} և ստացեք 0:

$$4x+5=5y$$

Հանեք 5y երկու կողմերից:

$$4x+5-5y=0$$

Հանեք 5 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$4x-5y=-5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Գումարեք 4 և 1 և ստացեք 5:

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Համակցեք x^{2} և -x^{2} և ստացեք 0:

$$4x+5=5y$$

Հանեք 5y երկու կողմերից:

$$4x+5-5y=0$$

Հանեք 5 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$4x-5y=-5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

4x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Պարզեցնել:

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Հանեք 12x+4y=4 12x-15y=-15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-15y-4y=-15-4$$

Գումարեք -15y -4y-ին:

$$-19y=-15-4$$

Գումարեք -15 -4-ին:

$$-19y=-19$$

Բաժանեք երկու կողմերը -19-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով 3x+y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+1=1$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=1$$