Լուծեք {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

Բազմապատկեք -2 անգամ b-2013:

$$a-2b+4026+2012=3$$

Գումարեք 4026 2012-ին:

$$a-2b+6038=3$$

Հանեք 6038 հավասարման երկու կողմից:

$$a-2b=-6035$$

Գումարեք 2b հավասարման երկու կողմին:

$$a=2b-6035$$

Փոխարինեք 2b-6035-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5:

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Գումարեք -6035 2012-ին:

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 2b-4023:

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

Բազմապատկեք 4 անգամ b-2013:

$$6b-12069+4b-8052=5$$

Գումարեք 6b 4b-ին:

$$10b-12069-8052=5$$

Գումարեք -12069 -8052-ին:

$$10b-20121=5$$

Գումարեք 20121 հավասարման երկու կողմին:

$$10b=20126$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$b=\frac{10063}{5}$$

Փոխարինեք \frac{10063}{5}-ը b-ով a=2b-6035-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{10063}{5}:

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

Գումարեք -6035 \frac{20126}{5}-ին:

$$a=-\frac{10049}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Պարզեցրեք առաջին հավասարումը՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար:

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

Բազմապատկեք -2 անգամ b-2013:

$$a-2b+4026+2012=3$$

Գումարեք 4026 2012-ին:

$$a-2b+6038=3$$

Հանեք 6038 հավասարման երկու կողմից:

$$a-2b=-6035$$

Պարզեցրեք երկրորդ հավասարումը՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար:

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ a+2012:

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

Բազմապատկեք 4 անգամ b-2013:

$$3a+6036+4b-8052=5$$

Գումարեք 6036 -8052-ին:

$$3a+4b-2016=5$$

Գումարեք 2016 հավասարման երկու կողմին:

$$3a+4b=2021$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$