Լուծեք {l}{(a+2012)-2(b-20,3)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 20,3 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=-415,64$$

$$b=816,98$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$a-2\left(b-20,3\right)+2012=3;3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$a-2\left(b-20,3\right)+2012=3$$

Բազմապատկեք -2 անգամ b-20,3:

$$a-2b+40,6+2012=3$$

Գումարեք 40,6 2012-ին:

$$a-2b+2052,6=3$$

Հանեք 2052,6 հավասարման երկու կողմից:

$$a-2b=-2049,6$$

Գումարեք 2b հավասարման երկու կողմին:

$$a=2b-2049,6$$

Փոխարինեք 2b-2049,6-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5:

$$3\left(2b-2049,6+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Գումարեք -2049,6 2012-ին:

$$3\left(2b-37,6\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 2b-37,6:

$$6b-112,8+4\left(b-2013\right)=5$$

Բազմապատկեք 4 անգամ b-2013:

$$6b-112,8+4b-8052=5$$

Գումարեք 6b 4b-ին:

$$10b-112,8-8052=5$$

Գումարեք -112,8 -8052-ին:

$$10b-8164,8=5$$

Գումարեք 8164,8 հավասարման երկու կողմին:

$$10b=8169,8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$b=816,98$$

Փոխարինեք 816,98-ը b-ով a=2b-2049,6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=2\times 816,98-2049,6$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 816,98:

$$a=1633,96-2049,6$$

Գումարեք -2049,6 1633,96-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$a=-415,64$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=-415,64;b=816,98$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$a-2\left(b-20,3\right)+2012=3;3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Պարզեցրեք առաջին հավասարումը՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար:

$$a-2\left(b-20,3\right)+2012=3$$

Բազմապատկեք -2 անգամ b-20,3:

$$a-2b+40,6+2012=3$$

Գումարեք 40,6 2012-ին:

$$a-2b+2052,6=3$$

Հանեք 2052,6 հավասարման երկու կողմից:

$$a-2b=-2049,6$$

Պարզեցրեք երկրորդ հավասարումը՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար:

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ a+2012:

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

Բազմապատկեք 4 անգամ b-2013:

$$3a+6036+4b-8052=5$$

Գումարեք 6036 -8052-ին:

$$3a+4b-2016=5$$

Գումարեք 2016 հավասարման երկու կողմին:

$$3a+4b=2021$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2049,6\\2021\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2049,6\\2021\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2049,6\\2021\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2049,6\\2021\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2049,6\\2021\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2049,6\\2021\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-2049,6\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-2049,6\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10391}{25}\\\frac{40849}{50}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=-\frac{10391}{25};b=\frac{40849}{50}$$