Լուծեք {l}{(A+B)1/2-B=3/4}{(2A+B)1/4-B=5/4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( A + B ) \frac { 1 } { 2 } - B = \frac { 3 } { 4 } } \\ { ( 2 A + B ) \frac { 1 } { 4 } - B = \frac { 5 } { 4 } } \end{array} \right.$$

Լուծել A, B-ի համար

$$A=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$B=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ A+B \frac{1}{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Համակցեք \frac{1}{2}B և -B և ստացեք -\frac{1}{2}B:

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2A+B \frac{1}{4}-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Համակցեք \frac{1}{4}B և -B և ստացեք -\frac{3}{4}B:

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն A-ի համար՝ առանձնացնելով A-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Գումարեք \frac{B}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$A=2\left(\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}\right)$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{B}{2}+\frac{3}{4}:

$$A=B+\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք B+\frac{3}{2}-ը A-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}:

$$\frac{1}{2}\left(B+\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ B+\frac{3}{2}:

$$\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Գումարեք \frac{B}{2} -\frac{3B}{4}-ին:

$$-\frac{1}{4}B+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$$

Հանեք \frac{3}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{4}B=\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -4-ով:

$$B=-2$$

Փոխարինեք -2-ը B-ով A=B+\frac{3}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես A-ի համար:

$$A=-2+\frac{3}{2}$$

Գումարեք \frac{3}{2} -2-ին:

$$A=-\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ A+B \frac{1}{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Համակցեք \frac{1}{2}B և -B և ստացեք -\frac{1}{2}B:

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2A+B \frac{1}{4}-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Համակցեք \frac{1}{4}B և -B և ստացեք -\frac{3}{4}B:

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\\4\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի A և B տարրերը:

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ A+B \frac{1}{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Համակցեք \frac{1}{2}B և -B և ստացեք -\frac{1}{2}B:

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2A+B \frac{1}{4}-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Համակցեք \frac{1}{4}B և -B և ստացեք -\frac{3}{4}B:

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Հանեք \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4} \frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Գումարեք \frac{A}{2} -\frac{A}{2}-ին: \frac{A}{2}-ը և -\frac{A}{2}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Գումարեք -\frac{B}{2} \frac{3B}{4}-ին:

$$\frac{1}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Գումարեք \frac{3}{4} -\frac{5}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$\frac{1}{4}B=-\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 4-ով:

$$B=-2$$

Փոխարինեք -2-ը B-ով \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես A-ի համար:

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}\left(-2\right)=\frac{5}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ -2:

$$\frac{1}{2}A+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}$$

Հանեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{2}A=-\frac{1}{4}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$A=-\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$