Լուծեք {l}{x/6-y=-1}{3x-2y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - y = - 1 } \\ { 3 x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$\frac{1}{6}x-y=-1$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{6}x=y-1$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 6-ով:

$$x=6\left(y-1\right)$$

Բազմապատկեք 6 անգամ y-1:

$$x=6y-6$$

Փոխարինեք -6+6y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-2y=6:

$$3\left(6y-6\right)-2y=6$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -6+6y:

$$18y-18-2y=6$$

Գումարեք 18y -2y-ին:

$$16y-18=6$$

Գումարեք 18 հավասարման երկու կողմին:

$$16y=24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$y=\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3}{2}-ը y-ով x=6y-6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=6\times \frac{3}{2}-6$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{3}{2}:

$$x=9-6$$

Գումարեք -6 9-ին:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{3}{8}\\-\frac{9}{8}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 6\\-\frac{9}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

\frac{x}{6}-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ \frac{1}{6}-ով:

$$3\times \frac{1}{6}x+3\left(-1\right)y=3\left(-1\right),\frac{1}{6}\times 3x+\frac{1}{6}\left(-2\right)y=\frac{1}{6}\times 6$$

Պարզեցնել:

$$\frac{1}{2}x-3y=-3,\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1$$

Հանեք \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1 \frac{1}{2}x-3y=-3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

Գումարեք \frac{x}{2} -\frac{x}{2}-ին: \frac{x}{2}-ը և -\frac{x}{2}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

Գումարեք -3y \frac{y}{3}-ին:

$$-\frac{8}{3}y=-3-1$$

Գումարեք -3 -1-ին:

$$-\frac{8}{3}y=-4$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{8}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3}{2}-ը y-ով 3x-2y=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-2\times \frac{3}{2}=6$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{3}{2}:

$$3x-3=6$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$