Լուծեք {l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=12$$

$$y=30$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 30-ով՝ 6,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x-6y=-120$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x-2y=-24$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-6y=-120$$

Գումարեք 6y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=6y-120$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -120+6y:

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

Փոխարինեք \frac{6y}{5}-24-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-2y=-24:

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{6y}{5}-24:

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

Գումարեք \frac{18y}{5} -2y-ին:

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

Գումարեք 72 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{8}{5}y=48$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{8}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=30$$

Փոխարինեք 30-ը y-ով x=\frac{6}{5}y-24-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

Բազմապատկեք \frac{6}{5} անգամ 30:

$$x=36-24$$

Գումարեք -24 36-ին:

$$x=12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=12,y=30$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 30-ով՝ 6,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x-6y=-120$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x-2y=-24$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=12,y=30$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 30-ով՝ 6,5-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$5x-6y=-120$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x-2y=-24$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

5x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

Պարզեցնել:

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

Հանեք 15x-10y=-120 15x-18y=-360-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-18y+10y=-360+120$$

Գումարեք -18y 10y-ին:

$$-8y=-360+120$$

Գումարեք -360 120-ին:

$$-8y=-240$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$y=30$$

Փոխարինեք 30-ը y-ով 3x-2y=-24-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-2\times 30=-24$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 30:

$$3x-60=-24$$

Գումարեք 60 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=36$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=12,y=30$$