Լուծեք {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=12$$

$$y=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 4-ով՝ 4,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$x+2y=28$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x-3y=24$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+2y=28$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-2y+28$$

Փոխարինեք -2y+28-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x-3y=24:

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -2y+28:

$$-8y+112-3y=24$$

Գումարեք -8y -3y-ին:

$$-11y+112=24$$

Հանեք 112 հավասարման երկու կողմից:

$$-11y=-88$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$y=8$$

Փոխարինեք 8-ը y-ով x=-2y+28-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times 8+28$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 8:

$$x=-16+28$$

Գումարեք 28 -16-ին:

$$x=12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=12,y=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 4-ով՝ 4,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$x+2y=28$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x-3y=24$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=12,y=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 4-ով՝ 4,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$x+2y=28$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x-3y=24$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

Պարզեցնել:

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

Հանեք 4x-3y=24 4x+8y=112-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

Գումարեք 4x -4x-ին: 4x-ը և -4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y+3y=112-24$$

Գումարեք 8y 3y-ին:

$$11y=112-24$$

Գումարեք 112 -24-ին:

$$11y=88$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$y=8$$

Փոխարինեք 8-ը y-ով 4x-3y=24-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-3\times 8=24$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 8:

$$4x-24=24$$

Գումարեք 24 հավասարման երկու կողմին:

$$4x=48$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=12,y=8$$