Լուծեք {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4,2,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Կատարել բազմապատկումները:

$$4x+3y=12-12$$

Հանեք 12 12-ից և ստացեք 0:

$$4x+3y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 20-ով՝ 5,2,4,10-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -10 y-2-ով բազմապատկելու համար:

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Համակցեք 4y և -10y և ստացեք -6y:

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 x+y-3-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 y-x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Համակցեք 5y և -2y և ստացեք 3y:

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Համակցեք 5x և 2x և ստացեք 7x:

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Գումարեք -15 և 2 և ստացեք -13:

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Համակցեք 8x և -7x և ստացեք x:

$$x-6y+20=3y-13$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-6y+20-3y=-13$$

Համակցեք -6y և -3y և ստացեք -9y:

$$x-9y+20=-13$$

Հանեք 20 երկու կողմերից:

$$x-9y=-13-20$$

Հանեք 20 -13-ից և ստացեք -33:

$$x-9y=-33$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+3y=0$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-3y$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -3y:

$$x=-\frac{3}{4}y$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-9y=-33:

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

Գումարեք -\frac{3y}{4} -9y-ին:

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{39}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{44}{13}$$

Փոխարինեք \frac{44}{13}-ը y-ով x=-\frac{3}{4}y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ \frac{44}{13}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{33}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4,2,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Կատարել բազմապատկումները:

$$4x+3y=12-12$$

Հանեք 12 12-ից և ստացեք 0:

$$4x+3y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 20-ով՝ 5,2,4,10-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -10 y-2-ով բազմապատկելու համար:

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Համակցեք 4y և -10y և ստացեք -6y:

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 x+y-3-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 y-x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Համակցեք 5y և -2y և ստացեք 3y:

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Համակցեք 5x և 2x և ստացեք 7x:

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Գումարեք -15 և 2 և ստացեք -13:

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Համակցեք 8x և -7x և ստացեք x:

$$x-6y+20=3y-13$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-6y+20-3y=-13$$

Համակցեք -6y և -3y և ստացեք -9y:

$$x-9y+20=-13$$

Հանեք 20 երկու կողմերից:

$$x-9y=-13-20$$

Հանեք 20 -13-ից և ստացեք -33:

$$x-9y=-33$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4,2,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Կատարել բազմապատկումները:

$$4x+3y=12-12$$

Հանեք 12 12-ից և ստացեք 0:

$$4x+3y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 20-ով՝ 5,2,4,10-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -10 y-2-ով բազմապատկելու համար:

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Համակցեք 4y և -10y և ստացեք -6y:

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 x+y-3-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 y-x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Համակցեք 5y և -2y և ստացեք 3y:

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Համակցեք 5x և 2x և ստացեք 7x:

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Գումարեք -15 և 2 և ստացեք -13:

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Համակցեք 8x և -7x և ստացեք x:

$$x-6y+20=3y-13$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-6y+20-3y=-13$$

Համակցեք -6y և -3y և ստացեք -9y:

$$x-9y+20=-13$$

Հանեք 20 երկու կողմերից:

$$x-9y=-13-20$$

Հանեք 20 -13-ից և ստացեք -33:

$$x-9y=-33$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

4x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

Պարզեցնել:

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

Հանեք 4x-36y=-132 4x+3y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4x-4x+3y+36y=132$$

Գումարեք 4x -4x-ին: 4x-ը և -4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y+36y=132$$

Գումարեք 3y 36y-ին:

$$39y=132$$

Բաժանեք երկու կողմերը 39-ի:

$$y=\frac{44}{13}$$

Փոխարինեք \frac{44}{13}-ը y-ով x-9y=-33-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

Բազմապատկեք -9 անգամ \frac{44}{13}:

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

Գումարեք \frac{396}{13} հավասարման երկու կողմին:

$$x=-\frac{33}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$