Լուծեք {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Բազմապատկեք 1 և 2-ով և ստացեք 2:

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Գումարեք 2 և 1 և ստացեք 3:

$$3x+y=3\times 3$$

Բազմապատկեք 3 և 3-ով և ստացեք 9:

$$3x+y=9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 5,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\times 2x-5y=-3$$

Բազմապատկեք 3 և 2-ով և ստացեք 6:

$$6x-5y=-3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+y=9$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-y+9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -y+9:

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

Փոխարինեք -\frac{y}{3}+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x-5y=-3:

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

Բազմապատկեք 6 անգամ -\frac{y}{3}+3:

$$-2y+18-5y=-3$$

Գումարեք -2y -5y-ին:

$$-7y+18=-3$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$-7y=-21$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ 3:

$$x=-1+3$$

Գումարեք 3 -1-ին:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Բազմապատկեք 1 և 2-ով և ստացեք 2:

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Գումարեք 2 և 1 և ստացեք 3:

$$3x+y=3\times 3$$

Բազմապատկեք 3 և 3-ով և ստացեք 9:

$$3x+y=9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 5,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\times 2x-5y=-3$$

Բազմապատկեք 3 և 2-ով և ստացեք 6:

$$6x-5y=-3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Բազմապատկեք 1 և 2-ով և ստացեք 2:

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Գումարեք 2 և 1 և ստացեք 3:

$$3x+y=3\times 3$$

Բազմապատկեք 3 և 3-ով և ստացեք 9:

$$3x+y=9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 5,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\times 2x-5y=-3$$

Բազմապատկեք 3 և 2-ով և ստացեք 6:

$$6x-5y=-3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

3x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

Պարզեցնել:

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

Հանեք 18x-15y=-9 18x+6y=54-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

Գումարեք 18x -18x-ին: 18x-ը և -18x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y+15y=54+9$$

Գումարեք 6y 15y-ին:

$$21y=54+9$$

Գումարեք 54 9-ին:

$$21y=63$$

Բաժանեք երկու կողմերը 21-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 6x-5y=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x-5\times 3=-3$$

Բազմապատկեք -5 անգամ 3:

$$6x-15=-3$$

Գումարեք 15 հավասարման երկու կողմին:

$$6x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=3$$