Լուծեք {l}{x/2+y/3=13/2}{x/3-frac{y}{4}=frac{3}{2}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = \frac { 13 } { 2 } } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=9$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+2y=39$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x-3y=18$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=39$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y+39$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+39\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y+39:

$$x=-\frac{2}{3}y+13$$

Փոխարինեք -\frac{2y}{3}+13-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x-3y=18:

$$4\left(-\frac{2}{3}y+13\right)-3y=18$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{2y}{3}+13:

$$-\frac{8}{3}y+52-3y=18$$

Գումարեք -\frac{8y}{3} -3y-ին:

$$-\frac{17}{3}y+52=18$$

Հանեք 52 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{17}{3}y=-34$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{17}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y+13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\times 6+13$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ 6:

$$x=-4+13$$

Գումարեք 13 -4-ին:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+2y=39$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x-3y=18$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{4}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 39+\frac{2}{17}\times 18\\\frac{4}{17}\times 39-\frac{3}{17}\times 18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=9,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+2y=39$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 3,4,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4x-3y=18$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

3x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 39,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 18$$

Պարզեցնել:

$$12x+8y=156,12x-9y=54$$

Հանեք 12x-9y=54 12x+8y=156-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x+8y+9y=156-54$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y+9y=156-54$$

Գումարեք 8y 9y-ին:

$$17y=156-54$$

Գումարեք 156 -54-ին:

$$17y=102$$

Բաժանեք երկու կողմերը 17-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով 4x-3y=18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-3\times 6=18$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 6:

$$4x-18=18$$

Գումարեք 18 հավասարման երկու կողմին:

$$4x=36$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=6$$