Լուծեք {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$x+y+2-3y=6$$

Համակցեք y և -3y և ստացեք -2y:

$$x-2y+2=6$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$x-2y=6-2$$

Հանեք 2 6-ից և ստացեք 4:

$$x-2y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$3x+4y=6x-8$$

Հանեք 6x երկու կողմերից:

$$3x+4y-6x=-8$$

Համակցեք 3x և -6x և ստացեք -3x:

$$-3x+4y=-8$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-2y=4$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$x=2y+4$$

Փոխարինեք 4+2y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3x+4y=-8:

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 4+2y:

$$-6y-12+4y=-8$$

Գումարեք -6y 4y-ին:

$$-2y-12=-8$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$-2y=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=2y+4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=2\left(-2\right)+4$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -2:

$$x=-4+4$$

Գումարեք 4 -4-ին:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$x+y+2-3y=6$$

Համակցեք y և -3y և ստացեք -2y:

$$x-2y+2=6$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$x-2y=6-2$$

Հանեք 2 6-ից և ստացեք 4:

$$x-2y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$3x+4y=6x-8$$

Հանեք 6x երկու կողմերից:

$$3x+4y-6x=-8$$

Համակցեք 3x և -6x և ստացեք -3x:

$$-3x+4y=-8$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$x+y+2-3y=6$$

Համակցեք y և -3y և ստացեք -2y:

$$x-2y+2=6$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$x-2y=6-2$$

Հանեք 2 6-ից և ստացեք 4:

$$x-2y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$3x+4y=6x-8$$

Հանեք 6x երկու կողմերից:

$$3x+4y-6x=-8$$

Համակցեք 3x և -6x և ստացեք -3x:

$$-3x+4y=-8$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

x-ը և -3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

Պարզեցնել:

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

Հանեք -3x+4y=-8 -3x+6y=-12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

Գումարեք -3x 3x-ին: -3x-ը և 3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y-4y=-12+8$$

Գումարեք 6y -4y-ին:

$$2y=-12+8$$

Գումարեք -12 8-ին:

$$2y=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով -3x+4y=-8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -2:

$$-3x-8=-8$$

Գումարեք 8 հավասարման երկու կողմին:

$$-3x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=-2$$