Լուծեք {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -5,0 արժեքներից որևէ մեկին, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք y\left(y+5\right)-ով՝ y+5,y-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y+5 x+7-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Հանեք yx երկու կողմերից:

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Համակցեք yx և -yx և ստացեք 0:

$$2y=7y+5x+35$$

Հանեք 7y երկու կողմերից:

$$2y-7y=5x+35$$

Համակցեք 2y և -7y և ստացեք -5y:

$$-5y=5x+35$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ 35+5x:

$$y=-x-7$$

Փոխարինեք -x-7-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -4y+2x=-1:

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -x-7:

$$4x+28+2x=-1$$

Գումարեք 4x 2x-ին:

$$6x+28=-1$$

Հանեք 28 հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-29$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=-\frac{29}{6}$$

Փոխարինեք -\frac{29}{6}-ը x-ով y=-x-7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -\frac{29}{6}:

$$y=\frac{29}{6}-7$$

Գումարեք -7 \frac{29}{6}-ին:

$$y=-\frac{13}{6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -5,0 արժեքներից որևէ մեկին, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք y\left(y+5\right)-ով՝ y+5,y-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y+5 x+7-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Հանեք yx երկու կողմերից:

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Համակցեք yx և -yx և ստացեք 0:

$$2y=7y+5x+35$$

Հանեք 7y երկու կողմերից:

$$2y-7y=5x+35$$

Համակցեք 2y և -7y և ստացեք -5y:

$$-5y=5x+35$$

Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$-5y-5x=35$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -5,0 արժեքներից որևէ մեկին, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք y\left(y+5\right)-ով՝ y+5,y-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y+5 x+7-ով բազմապատկելու համար:

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Հանեք yx երկու կողմերից:

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Համակցեք yx և -yx և ստացեք 0:

$$2y=7y+5x+35$$

Հանեք 7y երկու կողմերից:

$$2y-7y=5x+35$$

Համակցեք 2y և -7y և ստացեք -5y:

$$-5y=5x+35$$

Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$-5y-5x=35$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

-5y-ը և -4y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -5-ով:

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

Պարզեցնել:

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

Հանեք 20y-10x=5 20y+20x=-140-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

Գումարեք 20y -20y-ին: 20y-ը և -20y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$20x+10x=-140-5$$

Գումարեք 20x 10x-ին:

$$30x=-140-5$$

Գումարեք -140 -5-ին:

$$30x=-145$$

Բաժանեք երկու կողմերը 30-ի:

$$x=-\frac{29}{6}$$

Փոխարինեք -\frac{29}{6}-ը x-ով -4y+2x=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{29}{6}:

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

Գումարեք \frac{29}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$-4y=\frac{26}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=-\frac{13}{6}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$