Լուծեք {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 40-ով՝ 4,10,8-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Բազմապատկեք 10 և 5-ով և ստացեք 50:

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 50 x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Բազմապատկեք -4 և 3-ով և ստացեք -12:

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -12 2y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Հանեք 12 -150-ից և ստացեք -162:

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 x+y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Հանեք 7 4-ից և ստացեք -3:

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 -3-7x-7y-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Հավելել 35x-ը երկու կողմերում:

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Համակցեք 50x և 35x և ստացեք 85x:

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Հավելել 35y-ը երկու կողմերում:

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Համակցեք -24y և 35y և ստացեք 11y:

$$85x-162+11y=-15$$

Հավելել 162-ը երկու կողմերում:

$$85x+11y=-15+162$$

Գումարեք -15 և 162 և ստացեք 147:

$$85x+11y=147$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 2y-7-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-10y+35=21$$

Հանեք 35 երկու կողմերից:

$$6x-10y=21-35$$

Հանեք 35 21-ից և ստացեք -14:

$$6x-10y=-14$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$85x+11y=147$$

Հանեք 11y հավասարման երկու կողմից:

$$85x=-11y+147$$

Բաժանեք երկու կողմերը 85-ի:

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{85} անգամ -11y+147:

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

Փոխարինեք \frac{-11y+147}{85}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x-10y=-14:

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{-11y+147}{85}:

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

Գումարեք -\frac{66y}{85} -10y-ին:

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

Հանեք \frac{882}{85} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{916}{85}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{518}{229}$$

Փոխարինեք \frac{518}{229}-ը y-ով x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

Բազմապատկեք -\frac{11}{85} անգամ \frac{518}{229}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

Գումարեք \frac{147}{85} -\frac{5698}{19465}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{329}{229}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 40-ով՝ 4,10,8-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Բազմապատկեք 10 և 5-ով և ստացեք 50:

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 50 x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Բազմապատկեք -4 և 3-ով և ստացեք -12:

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -12 2y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Հանեք 12 -150-ից և ստացեք -162:

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 x+y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Հանեք 7 4-ից և ստացեք -3:

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 -3-7x-7y-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Հավելել 35x-ը երկու կողմերում:

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Համակցեք 50x և 35x և ստացեք 85x:

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Հավելել 35y-ը երկու կողմերում:

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Համակցեք -24y և 35y և ստացեք 11y:

$$85x-162+11y=-15$$

Հավելել 162-ը երկու կողմերում:

$$85x+11y=-15+162$$

Գումարեք -15 և 162 և ստացեք 147:

$$85x+11y=147$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 2y-7-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-10y+35=21$$

Հանեք 35 երկու կողմերից:

$$6x-10y=21-35$$

Հանեք 35 21-ից և ստացեք -14:

$$6x-10y=-14$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 40-ով՝ 4,10,8-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Բազմապատկեք 10 և 5-ով և ստացեք 50:

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 50 x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Բազմապատկեք -4 և 3-ով և ստացեք -12:

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -12 2y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Հանեք 12 -150-ից և ստացեք -162:

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 x+y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Հանեք 7 4-ից և ստացեք -3:

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 -3-7x-7y-ով բազմապատկելու համար:

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Հավելել 35x-ը երկու կողմերում:

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Համակցեք 50x և 35x և ստացեք 85x:

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Հավելել 35y-ը երկու կողմերում:

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Համակցեք -24y և 35y և ստացեք 11y:

$$85x-162+11y=-15$$

Հավելել 162-ը երկու կողմերում:

$$85x+11y=-15+162$$

Գումարեք -15 և 162 և ստացեք 147:

$$85x+11y=147$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 2y-7-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-10y+35=21$$

Հանեք 35 երկու կողմերից:

$$6x-10y=21-35$$

Հանեք 35 21-ից և ստացեք -14:

$$6x-10y=-14$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

85x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 85-ով:

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

Պարզեցնել:

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

Հանեք 510x-850y=-1190 510x+66y=882-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

Գումարեք 510x -510x-ին: 510x-ը և -510x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$66y+850y=882+1190$$

Գումարեք 66y 850y-ին:

$$916y=882+1190$$

Գումարեք 882 1190-ին:

$$916y=2072$$

Բաժանեք երկու կողմերը 916-ի:

$$y=\frac{518}{229}$$

Փոխարինեք \frac{518}{229}-ը y-ով 6x-10y=-14-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

Բազմապատկեք -10 անգամ \frac{518}{229}:

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

Գումարեք \frac{5180}{229} հավասարման երկու կողմին:

$$6x=\frac{1974}{229}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{329}{229}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$