Լուծեք {l}{3x-7/4-2y+1/6=0}{x+2/5-5y+4/3=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x-7-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 2y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-21-4y-2=0$$

Հանեք 2 -21-ից և ստացեք -23:

$$9x-23-4y=0$$

Հավելել 23-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$9x-4y=23$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 5,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 5y+4-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6-25y-20=-30$$

Հանեք 20 6-ից և ստացեք -14:

$$3x-14-25y=-30$$

Հավելել 14-ը երկու կողմերում:

$$3x-25y=-30+14$$

Գումարեք -30 և 14 և ստացեք -16:

$$3x-25y=-16$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$9x-4y=23$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$9x=4y+23$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{9} անգամ 4y+23:

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}$$

Փոխարինեք \frac{4y+23}{9}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-25y=-16:

$$3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{4y+23}{9}:

$$\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16$$

Գումարեք \frac{4y}{3} -25y-ին:

$$-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16$$

Հանեք \frac{23}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{71}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{4+23}{9}$$

Գումարեք \frac{23}{9} \frac{4}{9}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x-7-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 2y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-21-4y-2=0$$

Հանեք 2 -21-ից և ստացեք -23:

$$9x-23-4y=0$$

Հավելել 23-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$9x-4y=23$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 5,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 5y+4-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6-25y-20=-30$$

Հանեք 20 6-ից և ստացեք -14:

$$3x-14-25y=-30$$

Հավելել 14-ը երկու կողմերում:

$$3x-25y=-30+14$$

Գումարեք -30 և 14 և ստացեք -16:

$$3x-25y=-16$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x-7-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 2y+1-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-21-4y-2=0$$

Հանեք 2 -21-ից և ստացեք -23:

$$9x-23-4y=0$$

Հավելել 23-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$9x-4y=23$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով՝ 5,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5 5y+4-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6-25y-20=-30$$

Հանեք 20 6-ից և ստացեք -14:

$$3x-14-25y=-30$$

Հավելել 14-ը երկու կողմերում:

$$3x-25y=-30+14$$

Գումարեք -30 և 14 և ստացեք -16:

$$3x-25y=-16$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

9x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 9-ով:

$$3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)$$

Պարզեցնել:

$$27x-12y=69,27x-225y=-144$$

Հանեք 27x-225y=-144 27x-12y=69-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$27x-27x-12y+225y=69+144$$

Գումարեք 27x -27x-ին: 27x-ը և -27x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-12y+225y=69+144$$

Գումարեք -12y 225y-ին:

$$213y=69+144$$

Գումարեք 69 144-ին:

$$213y=213$$

Բաժանեք երկու կողմերը 213-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով 3x-25y=-16-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-25=-16$$

Գումարեք 25 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=1$$