Լուծեք {l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-5$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք երկու կողմերը 6-ով:

$$3x+5y=-5\times 6$$

Բազմապատկեք -5 և 6-ով և ստացեք -30:

$$3x+5y=-30$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+7-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+14+3y=-5$$

Հանեք 14 երկու կողմերից:

$$2x+3y=-5-14$$

Հանեք 14 -5-ից և ստացեք -19:

$$2x+3y=-19$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+5y=-30$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-5y-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -5y-30:

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{3}-10-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=-19:

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{5y}{3}-10:

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

Գումարեք -\frac{10y}{3} 3y-ին:

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

Գումարեք 20 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{1}{3}y=1$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -3-ով:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=-\frac{5}{3}y-10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{3} անգամ -3:

$$x=5-10$$

Գումարեք -10 5-ին:

$$x=-5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք երկու կողմերը 6-ով:

$$3x+5y=-5\times 6$$

Բազմապատկեք -5 և 6-ով և ստացեք -30:

$$3x+5y=-30$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+7-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+14+3y=-5$$

Հանեք 14 երկու կողմերից:

$$2x+3y=-5-14$$

Հանեք 14 -5-ից և ստացեք -19:

$$2x+3y=-19$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-5,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք երկու կողմերը 6-ով:

$$3x+5y=-5\times 6$$

Բազմապատկեք -5 և 6-ով և ստացեք -30:

$$3x+5y=-30$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+7-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+14+3y=-5$$

Հանեք 14 երկու կողմերից:

$$2x+3y=-5-14$$

Հանեք 14 -5-ից և ստացեք -19:

$$2x+3y=-19$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

3x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

Պարզեցնել:

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

Հանեք 6x+9y=-57 6x+10y=-60-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10y-9y=-60+57$$

Գումարեք 10y -9y-ին:

$$y=-60+57$$

Գումարեք -60 57-ին:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով 2x+3y=-19-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -3:

$$2x-9=-19$$

Գումարեք 9 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=-3$$