Լուծեք {l}{3/2x+1/3y=1}{x/4-1/6y=-frac{3}{2}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = 1 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { 1 } { 6 } y = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1$$

Հանեք \frac{y}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{3}{2}x=-\frac{1}{3}y+1$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ -\frac{y}{3}+1:

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{2y}{9}+\frac{2}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}:

$$\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -\frac{2y}{9}+\frac{2}{3}:

$$-\frac{1}{18}y+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Գումարեք -\frac{y}{18} -\frac{y}{6}-ին:

$$-\frac{2}{9}y+\frac{1}{6}=-\frac{3}{2}$$

Հանեք \frac{1}{6} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{2}{9}y=-\frac{5}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{2}{9}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{15}{2}$$

Փոխարինեք \frac{15}{2}-ը y-ով x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{15}{2}+\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{9} անգամ \frac{15}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Գումարեք \frac{2}{3} -\frac{5}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1-3}{2}\\\frac{3}{4}-\frac{9}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

\frac{3x}{2}-ը և \frac{x}{4}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները \frac{1}{4}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ \frac{3}{2}-ով:

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

Պարզեցնել:

$$\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4},\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4}$$

Հանեք \frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4} \frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

Գումարեք \frac{3x}{8} -\frac{3x}{8}-ին: \frac{3x}{8}-ը և -\frac{3x}{8}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

Գումարեք \frac{y}{12} \frac{y}{4}-ին:

$$\frac{1}{3}y=\frac{1+9}{4}$$

Գումարեք \frac{1}{4} \frac{9}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$\frac{1}{3}y=\frac{5}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 3-ով:

$$y=\frac{15}{2}$$

Փոխարինեք \frac{15}{2}-ը y-ով \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}\times \frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{6} անգամ \frac{15}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{2}$$

Գումարեք \frac{5}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 4-ով:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$