Լուծեք {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2x-5+3y-4=-1$$

Հանեք 4 -5-ից և ստացեք -9:

$$2x-9+3y=-1$$

Հավելել 9-ը երկու կողմերում:

$$2x+3y=-1+9$$

Գումարեք -1 և 9 և ստացեք 8:

$$2x+3y=8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=5$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=8$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+8:

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+4-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+y=5:

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -\frac{3y}{2}+4:

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

Գումարեք \frac{3y}{2} y-ին:

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{5}{2}y=9$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{18}{5}$$

Փոխարինեք \frac{18}{5}-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ \frac{18}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

Գումարեք 4 -\frac{27}{5}-ին:

$$x=-\frac{7}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2x-5+3y-4=-1$$

Հանեք 4 -5-ից և ստացեք -9:

$$2x-9+3y=-1$$

Հավելել 9-ը երկու կողմերում:

$$2x+3y=-1+9$$

Գումարեք -1 և 9 և ստացեք 8:

$$2x+3y=8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2x-5+3y-4=-1$$

Հանեք 4 -5-ից և ստացեք -9:

$$2x-9+3y=-1$$

Հավելել 9-ը երկու կողմերում:

$$2x+3y=-1+9$$

Գումարեք -1 և 9 և ստացեք 8:

$$2x+3y=8$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

2x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

Պարզեցնել:

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

Հանեք -2x+2y=10 -2x-3y=-8-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3y-2y=-8-10$$

Գումարեք -3y -2y-ին:

$$-5y=-8-10$$

Գումարեք -8 -10-ին:

$$-5y=-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=\frac{18}{5}$$

Փոխարինեք \frac{18}{5}-ը y-ով -x+y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

Հանեք \frac{18}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$-x=\frac{7}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\frac{7}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$