Լուծեք {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=7+2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 7 + 2 x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-5$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2x+7y+3y=0$$

Համակցեք 7y և 3y և ստացեք 10y:

$$2x+10y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+5y-1=14+4x$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$2x+5y-1-4x=14$$

Համակցեք 2x և -4x և ստացեք -2x:

$$-2x+5y-1=14$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$-2x+5y=14+1$$

Գումարեք 14 և 1 և ստացեք 15:

$$-2x+5y=15$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+10y=0$$

Հանեք 10y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-10y$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -10y:

$$x=-5y$$

Փոխարինեք -5y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+5y=15:

$$-2\left(-5\right)y+5y=15$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -5y:

$$10y+5y=15$$

Գումարեք 10y 5y-ին:

$$15y=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=-5y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2x+7y+3y=0$$

Համակցեք 7y և 3y և ստացեք 10y:

$$2x+10y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+5y-1=14+4x$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$2x+5y-1-4x=14$$

Համակցեք 2x և -4x և ստացեք -2x:

$$-2x+5y-1=14$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$-2x+5y=14+1$$

Գումարեք 14 և 1 և ստացեք 15:

$$-2x+5y=15$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\left(-2\right)}&-\frac{10}{2\times 5-10\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 5-10\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 5-10\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 15\\\frac{1}{15}\times 15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-5,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2x+7y+3y=0$$

Համակցեք 7y և 3y և ստացեք 10y:

$$2x+10y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+5y-1=14+4x$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$2x+5y-1-4x=14$$

Համակցեք 2x և -4x և ստացեք -2x:

$$-2x+5y-1=14$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$-2x+5y=14+1$$

Գումարեք 14 և 1 և ստացեք 15:

$$-2x+5y=15$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

2x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-2\times 2x-2\times 10y=0,2\left(-2\right)x+2\times 5y=2\times 15$$

Պարզեցնել:

$$-4x-20y=0,-4x+10y=30$$

Հանեք -4x+10y=30 -4x-20y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-4x+4x-20y-10y=-30$$

Գումարեք -4x 4x-ին: -4x-ը և 4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-20y-10y=-30$$

Գումարեք -20y -10y-ին:

$$-30y=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -30-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով -2x+5y=15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x+5=15$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=1$$