Լուծեք {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2x+7y+3y=0$$

Համակցեք 7y և 3y և ստացեք 10y:

$$2x+10y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+5y-1=4-2x$$

Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$2x+5y-1+2x=4$$

Համակցեք 2x և 2x և ստացեք 4x:

$$4x+5y-1=4$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$4x+5y=4+1$$

Գումարեք 4 և 1 և ստացեք 5:

$$4x+5y=5$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+10y=0$$

Հանեք 10y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-10y$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -10y:

$$x=-5y$$

Փոխարինեք -5y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+5y=5:

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -5y:

$$-20y+5y=5$$

Գումարեք -20y 5y-ին:

$$-15y=5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{3}-ը y-ով x=-5y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -\frac{1}{3}:

$$x=\frac{5}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2x+7y+3y=0$$

Համակցեք 7y և 3y և ստացեք 10y:

$$2x+10y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+5y-1=4-2x$$

Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$2x+5y-1+2x=4$$

Համակցեք 2x և 2x և ստացեք 4x:

$$4x+5y-1=4$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$4x+5y=4+1$$

Գումարեք 4 և 1 և ստացեք 5:

$$4x+5y=5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2x+7y+3y=0$$

Համակցեք 7y և 3y և ստացեք 10y:

$$2x+10y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 2-ով:

$$2x+5y-1=4-2x$$

Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$2x+5y-1+2x=4$$

Համակցեք 2x և 2x և ստացեք 4x:

$$4x+5y-1=4$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$4x+5y=4+1$$

Գումարեք 4 և 1 և ստացեք 5:

$$4x+5y=5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

Պարզեցնել:

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

Հանեք 8x+10y=10 8x+40y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$40y-10y=-10$$

Գումարեք 40y -10y-ին:

$$30y=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 30-ի:

$$y=-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{3}-ը y-ով 4x+5y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{1}{3}:

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

Գումարեք \frac{5}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$4x=\frac{20}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{5}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$