Լուծեք {l}{2/3x+1/2y=5}{x-3y=6.}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 5 } \\ { x - 3 y = 6 . } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{36}{5} = 7\frac{1}{5} = 7.2$$

$$y=\frac{2}{5}=0.4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5$$

Հանեք \frac{y}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{2}y+5$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{2}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ -\frac{y}{2}+5:

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{4}+\frac{15}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-3y=6:

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}-3y=6$$

Գումարեք -\frac{3y}{4} -3y-ին:

$$-\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}=6$$

Հանեք \frac{15}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{3}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{15}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{2}{5}$$

Փոխարինեք \frac{2}{5}-ը y-ով x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}+\frac{15}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{4} անգամ \frac{2}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{3}{10}+\frac{15}{2}$$

Գումարեք \frac{15}{2} -\frac{3}{10}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{36}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{4}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{5}\\\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

\frac{2x}{3}-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ \frac{2}{3}-ով:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\left(-3\right)y=\frac{2}{3}\times 6$$

Պարզեցնել:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x-2y=4$$

Հանեք \frac{2}{3}x-2y=4 \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

Գումարեք \frac{2x}{3} -\frac{2x}{3}-ին: \frac{2x}{3}-ը և -\frac{2x}{3}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

Գումարեք \frac{y}{2} 2y-ին:

$$\frac{5}{2}y=5-4$$

Գումարեք 5 -4-ին:

$$\frac{5}{2}y=1$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{2}{5}$$

Փոխարինեք \frac{2}{5}-ը y-ով x-3y=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-3\times \frac{2}{5}=6$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{2}{5}:

$$x-\frac{6}{5}=6$$

Գումարեք \frac{6}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{36}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$