Լուծեք {l}{1/5x-2y=10}{3x-3/2y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } x - 2 y = 10 } \\ { 3 x - \frac { 3 } { 2 } y = 36 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=10$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$\frac{1}{5}x-2y=10$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{5}x=2y+10$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 5-ով:

$$x=5\left(2y+10\right)$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 10+2y:

$$x=10y+50$$

Փոխարինեք 50+10y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-\frac{3}{2}y=36:

$$3\left(10y+50\right)-\frac{3}{2}y=36$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 50+10y:

$$30y+150-\frac{3}{2}y=36$$

Գումարեք 30y -\frac{3y}{2}-ին:

$$\frac{57}{2}y+150=36$$

Հանեք 150 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{57}{2}y=-114$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{57}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=10y+50-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=10\left(-4\right)+50$$

Բազմապատկեք 10 անգամ -4:

$$x=-40+50$$

Գումարեք 50 -40-ին:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}&\frac{20}{57}\\-\frac{10}{19}&\frac{2}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}\times 10+\frac{20}{57}\times 36\\-\frac{10}{19}\times 10+\frac{2}{57}\times 36\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=10,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

\frac{x}{5}-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ \frac{1}{5}-ով:

$$3\times \frac{1}{5}x+3\left(-2\right)y=3\times 10,\frac{1}{5}\times 3x+\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)y=\frac{1}{5}\times 36$$

Պարզեցնել:

$$\frac{3}{5}x-6y=30,\frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5}$$

Հանեք \frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5} \frac{3}{5}x-6y=30-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

Գումարեք \frac{3x}{5} -\frac{3x}{5}-ին: \frac{3x}{5}-ը և -\frac{3x}{5}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

Գումարեք -6y \frac{3y}{10}-ին:

$$-\frac{57}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

Գումարեք 30 -\frac{36}{5}-ին:

$$-\frac{57}{10}y=\frac{114}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{57}{10}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով 3x-\frac{3}{2}y=36-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-\frac{3}{2}\left(-4\right)=36$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ -4:

$$3x+6=36$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=-4$$