Լուծեք {c}{x-4y=-13}{6x+4y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 4 y = - 13 } \\ { 6 x + 4 y = 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-4y=-13$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$x=4y-13$$

Փոխարինեք 4y-13-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x+4y=6:

$$6\left(4y-13\right)+4y=6$$

Բազմապատկեք 6 անգամ 4y-13:

$$24y-78+4y=6$$

Գումարեք 24y 4y-ին:

$$28y-78=6$$

Գումարեք 78 հավասարման երկու կողմին:

$$28y=84$$

Բաժանեք երկու կողմերը 28-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=4y-13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=4\times 3-13$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 3:

$$x=12-13$$

Գումարեք -13 12-ին:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{4-\left(-4\times 6\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&\frac{1}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-13\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{3}{14}\left(-13\right)+\frac{1}{28}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$6x+6\left(-4\right)y=6\left(-13\right),6x+4y=6$$

Պարզեցնել:

$$6x-24y=-78,6x+4y=6$$

Հանեք 6x+4y=6 6x-24y=-78-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x-24y-4y=-78-6$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-24y-4y=-78-6$$

Գումարեք -24y -4y-ին:

$$-28y=-78-6$$

Գումարեք -78 -6-ին:

$$-28y=-84$$

Բաժանեք երկու կողմերը -28-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 6x+4y=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x+4\times 3=6$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 3:

$$6x+12=6$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=3$$