Լուծեք {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2y+5x=12$$

Հանեք 5x հավասարման երկու կողմից:

$$2y=-5x+12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -5x+12:

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

Փոխարինեք -\frac{5x}{2}+6-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -6y-2x=-24:

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

Բազմապատկեք -6 անգամ -\frac{5x}{2}+6:

$$15x-36-2x=-24$$

Գումարեք 15x -2x-ին:

$$13x-36=-24$$

Գումարեք 36 հավասարման երկու կողմին:

$$13x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 13-ի:

$$x=\frac{12}{13}$$

Փոխարինեք \frac{12}{13}-ը x-ով y=-\frac{5}{2}x+6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{2} անգամ \frac{12}{13}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

Գումարեք 6 -\frac{30}{13}-ին:

$$y=\frac{48}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

2y-ը և -6y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

Պարզեցնել:

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

Հանեք -12y-4x=-48 -12y-30x=-72-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

Գումարեք -12y 12y-ին: -12y-ը և 12y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-30x+4x=-72+48$$

Գումարեք -30x 4x-ին:

$$-26x=-72+48$$

Գումարեք -72 48-ին:

$$-26x=-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը -26-ի:

$$x=\frac{12}{13}$$

Փոխարինեք \frac{12}{13}-ը x-ով -6y-2x=-24-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{12}{13}:

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

Գումարեք \frac{24}{13} հավասարման երկու կողմին:

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$y=\frac{48}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$