Լուծեք {c}{2x+3y=13}{-6x+y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { - 6 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=13$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+13:

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+13}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -6x+y=11:

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11$$

Բազմապատկեք -6 անգամ \frac{-3y+13}{2}:

$$9y-39+y=11$$

Գումարեք 9y y-ին:

$$10y-39=11$$

Գումարեք 39 հավասարման երկու կողմին:

$$10y=50$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+\frac{13}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 5:

$$x=\frac{-15+13}{2}$$

Գումարեք \frac{13}{2} -\frac{15}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-6\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2-3\left(-6\right)}&\frac{2}{2-3\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{3}{20}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 13-\frac{3}{20}\times 11\\\frac{3}{10}\times 13+\frac{1}{10}\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

2x-ը և -6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-6\times 2x-6\times 3y=-6\times 13,2\left(-6\right)x+2y=2\times 11$$

Պարզեցնել:

$$-12x-18y=-78,-12x+2y=22$$

Հանեք -12x+2y=22 -12x-18y=-78-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-12x+12x-18y-2y=-78-22$$

Գումարեք -12x 12x-ին: -12x-ը և 12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-18y-2y=-78-22$$

Գումարեք -18y -2y-ին:

$$-20y=-78-22$$

Գումարեք -78 -22-ին:

$$-20y=-100$$

Բաժանեք երկու կողմերը -20-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով -6x+y=11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-6x+5=11$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$-6x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=5$$