Լուծեք ∫ (from -1 to 3) of x(x-1)(x+2) wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 3 } x(x-1)(x+2) d x$$

Գնահատել

$$\frac{64}{3}\approx 21.333333333$$

Լուծման քայլերը

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$\int _{-1}^{3}\left(x^{2}-x\right)\left(x+2\right)\mathrm{d}x$$

Գործադրեք բաժանիչ հատկությունը՝ բազմապատկելով x^{2}-x-ի յուրաքանչյուր արտահայտությունը x+2-ի յուրաքանչյուր արտահայտությամբ:

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+2x^{2}-x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Համակցեք 2x^{2} և -x^{2} և ստացեք x^{2}:

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Նախ գնահատեք անորոշ ինտեգրալը։

$$\int x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{3}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{4}}{4}-ով:

$$\frac{x^{4}}{4}+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{2}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{3}}{3}-ով:

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x\mathrm{d}x-ը \frac{x^{2}}{2}-ով: Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{x^{2}}{2}:

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-x^{2}$$

Որոշյալ ինտեգրալը արտահայտության պարզ ֆունկցիան է՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի վերին սահմանաչափով, հանած պարզ ֆունկցիան՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի ստորին սահմանաչափում:

$$\frac{3^{4}}{4}+\frac{3^{3}}{3}-3^{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}+\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-\left(-1\right)^{2}\right)$$

Պարզեցնել:

$$\frac{64}{3}$$