Լուծեք ∫ 2x(x^2+1) wrt x

$$\int{ 2x( { x }^{ 2 } +1) }d x$$

Գնահատել

$$\frac{x^{4}}{2}+x^{2}+С$$

Լուծման քայլերը

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2x x^{2}+1-ով բազմապատկելու համար:

$$\int 2x^{3}+2x\mathrm{d}x$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{3}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{4}}{4}-ով: Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{x^{4}}{4}:

$$\frac{x^{4}}{2}+2\int x\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x\mathrm{d}x-ը \frac{x^{2}}{2}-ով: Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{x^{2}}{2}:

$$\frac{x^{4}}{2}+x^{2}$$

Եթե F\left(x\right)-ը f\left(x\right)-ի հակաածանցյալն է, ապաf\left(x\right)-ի բոլոր հակաածանցյալների հավաքածուն տրված է F\left(x\right)+C-ի կողմից։ Հետևաբար, ավելացրեք C\in \mathrm{R} ինտեգրացիայի հաստատունն արդյունքին։

$$\frac{x^{4}}{2}+x^{2}+С$$

Տարբերակել վերագրած x-ը

$$2x\left(x^{2}+1\right)$$