Լուծեք ∫ x(2tx^2)^2 wrt x

$$\int x ( 2 t x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

Գնահատել

$$\frac{2t^{2}x^{6}}{3}+С$$

Լուծման քայլերը

Ընդարձակեք \left(2tx^{2}\right)^{2}:

$$\int x\times 2^{2}t^{2}\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Թվի աստիճանը այլ աստիճան բարձրացնելու համար բազմապատկեք ցուցիչները: Բազմապատկեք 2-ը և 2-ը և ստացեք 4-ը:

$$\int x\times 2^{2}t^{2}x^{4}\mathrm{d}x$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$\int x\times 4t^{2}x^{4}\mathrm{d}x$$

Նույն հիմքով աստիճանները բազմապատկելու համար գումարեք դրանց աստիճանացույցերը: Գումարեք 1-ը և 4-ը և ստացեք 5-ը:

$$\int x^{5}\times 4t^{2}\mathrm{d}x$$

Դուրս բերեք հաստատունը՝ օգտագործելով \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x-ը։

$$4t^{2}\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{5}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{6}}{6}-ով:

$$4t^{2}\times \frac{x^{6}}{6}$$

Պարզեցնել:

$$\frac{2t^{2}x^{6}}{3}$$

Եթե F\left(x\right)-ը f\left(x\right)-ի հակաածանցյալն է, ապաf\left(x\right)-ի բոլոր հակաածանցյալների հավաքածուն տրված է F\left(x\right)+C-ի կողմից։ Հետևաբար, ավելացրեք C\in \mathrm{R} ինտեգրացիայի հաստատունն արդյունքին։

$$\frac{2t^{2}x^{6}}{3}+С$$

Տարբերակել վերագրած x-ը

$$4t^{2}x^{5}$$