Լուծեք ∫ x(2+x^2)^2 wrt x

$$\int x ( 2 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

Գնահատել

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Լուծման քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2+x^{2}\right)^{2}:

$$\int x\left(4+4x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Թվի աստիճանը այլ աստիճան բարձրացնելու համար բազմապատկեք ցուցիչները: Բազմապատկեք 2-ը և 2-ը և ստացեք 4-ը:

$$\int x\left(4+4x^{2}+x^{4}\right)\mathrm{d}x$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x 4+4x^{2}+x^{4}-ով բազմապատկելու համար:

$$\int 4x+4x^{3}+x^{5}\mathrm{d}x$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 4x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$4\int x\mathrm{d}x+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x\mathrm{d}x-ը \frac{x^{2}}{2}-ով: Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{x^{2}}{2}:

$$2x^{2}+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{3}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{4}}{4}-ով: Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{x^{4}}{4}:

$$2x^{2}+x^{4}+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{5}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{6}}{6}-ով:

$$2x^{2}+x^{4}+\frac{x^{6}}{6}$$

Եթե F\left(x\right)-ը f\left(x\right)-ի հակաածանցյալն է, ապաf\left(x\right)-ի բոլոր հակաածանցյալների հավաքածուն տրված է F\left(x\right)+C-ի կողմից։ Հետևաբար, ավելացրեք C\in \mathrm{R} ինտեգրացիայի հաստատունն արդյունքին։

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Տարբերակել վերագրած x-ը

$$x\left(x^{2}+2\right)^{2}$$