Լուծեք ∫ x^2(20x^7-7x^4+1) wrt x

$$\int x ^ { 2 } ( 20 x ^ { 7 } - 7 x ^ { 4 } + 1 ) d x$$

Գնահատել

$$2x^{10}-x^{7}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Լուծման քայլերը

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x^{2} 20x^{7}-7x^{4}+1-ով բազմապատկելու համար:

$$\int 20x^{9}-7x^{6}+x^{2}\mathrm{d}x$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int 20x^{9}\mathrm{d}x+\int -7x^{6}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$20\int x^{9}\mathrm{d}x-7\int x^{6}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{9}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{10}}{10}-ով: Բազմապատկեք 20 անգամ \frac{x^{10}}{10}:

$$2x^{10}-7\int x^{6}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{6}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{7}}{7}-ով: Բազմապատկեք -7 անգամ \frac{x^{7}}{7}:

$$2x^{10}-x^{7}+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{2}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{3}}{3}-ով:

$$2x^{10}-x^{7}+\frac{x^{3}}{3}$$

Եթե F\left(x\right)-ը f\left(x\right)-ի հակաածանցյալն է, ապաf\left(x\right)-ի բոլոր հակաածանցյալների հավաքածուն տրված է F\left(x\right)+C-ի կողմից։ Հետևաբար, ավելացրեք C\in \mathrm{R} ինտեգրացիայի հաստատունն արդյունքին։

$$2x^{10}-x^{7}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Տարբերակել վերագրած x-ը

$$20x^{9}-7x^{6}+x^{2}$$