Լուծեք ∫ (from 1 to 8) of (1/sqrt[3]{x}-3x^15) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 8 } ( \frac { 1 } { \sqrt[ 3 ] { x } } - 3 x ^ { 15 } ) d x$$

Գնահատել

$$-\frac{844424930131893}{16}=-5.277655813 \cdot 10^{13}$$

Լուծման քայլերը

Նախ գնահատեք անորոշ ինտեգրալը։

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}-3x^{15}\mathrm{d}x$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x+\int -3x^{15}\mathrm{d}x$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x-3\int x^{15}\mathrm{d}x$$

Նորից գրեք \frac{1}{\sqrt[3]{x}}-ը x^{-\frac{1}{3}}-ի տեսքով: Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{-\frac{1}{3}}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}-ով: Պարզեցնել:

$$\frac{3x^{\frac{2}{3}}}{2}-3\int x^{15}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{15}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{16}}{16}-ով: Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{x^{16}}{16}:

$$\frac{3x^{\frac{2}{3}}}{2}-\frac{3x^{16}}{16}$$

Որոշյալ ինտեգրալը արտահայտության պարզ ֆունկցիան է՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի վերին սահմանաչափով, հանած պարզ ֆունկցիան՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի ստորին սահմանաչափում:

$$\frac{3}{2}\times 8^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{16}\times 8^{16}-\left(\frac{3}{2}\times 1^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{16}\times 1^{16}\right)$$

Պարզեցնել:

$$-\frac{844424930131893}{16}$$