Լուծեք ∫ (from 1 to 4) of (5-x+2x^2-3x^3) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 4 } ( 5 - x + 2 x ^ { 2 } - 3 x ^ { 3 } ) d x$$

Գնահատել

$$-\frac{567}{4}=-141.75$$

Լուծման քայլերը

Նախ գնահատեք անորոշ ինտեգրալը։

$$\int 5-x+2x^{2}-3x^{3}\mathrm{d}x$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int 5\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int -3x^{3}\mathrm{d}x$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$\int 5\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x-3\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Գտեք 5-ի ինտեգրալը՝ օգտագործելով ընդհանուր ինտեգրալների \int a\mathrm{d}x=ax կանոնի աղյուսակը։

$$5x-\int x\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x-3\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x\mathrm{d}x-ը \frac{x^{2}}{2}-ով: Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{x^{2}}{2}:

$$5x-\frac{x^{2}}{2}+2\int x^{2}\mathrm{d}x-3\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{2}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{3}}{3}-ով: Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{x^{3}}{3}:

$$5x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}-3\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{3}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{4}}{4}-ով: Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{x^{4}}{4}:

$$5x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}-\frac{3x^{4}}{4}$$

Որոշյալ ինտեգրալը արտահայտության պարզ ֆունկցիան է՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի վերին սահմանաչափով, հանած պարզ ֆունկցիան՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի ստորին սահմանաչափում:

$$5\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{3}-\frac{3}{4}\times 4^{4}-\left(5\times 1-\frac{1^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 1^{3}-\frac{3}{4}\times 1^{4}\right)$$

Պարզեցնել:

$$-\frac{567}{4}$$