Լուծեք ∫ (from 0 to 2 pi) of int_0^1rsqrt{4r^2+1}drdθ

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } r \sqrt { 4 r ^ { 2 } + 1 } d r d \theta$$

Գնահատել

$$\frac{5\pi \sqrt{5}-\pi }{6}\approx 5.3304135$$

Լուծման քայլերը

Նախ գնահատեք անորոշ ինտեգրալը։

$$\int \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

Գտեք \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r-ի ինտեգրալը՝ օգտագործելով ընդհանուր ինտեգրալների \int a\mathrm{d}\theta =a\theta կանոնի աղյուսակը։

$$\int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\theta$$

Պարզեցնել:

$$\frac{5\sqrt{5}-1}{12}\theta$$

Որոշյալ ինտեգրալը արտահայտության պարզ ֆունկցիան է՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի վերին սահմանաչափով, հանած պարզ ֆունկցիան՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի ստորին սահմանաչափում:

$$\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 2\pi -\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 0$$

Պարզեցնել:

$$\frac{5\sqrt{5}\pi -\pi }{6}$$