Լուծեք ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

Գնահատել

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

Լուծման քայլերը

Նախ գնահատեք անորոշ ինտեգրալը։

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Քանի որ \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int r\mathrm{d}r-ը \frac{r^{2}}{2}-ով:

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Քանի որ \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int r^{2}\mathrm{d}r-ը \frac{r^{3}}{3}-ով: Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{r^{3}}{3}:

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

Որոշյալ ինտեգրալը արտահայտության պարզ ֆունկցիան է՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի վերին սահմանաչափով, հանած պարզ ֆունկցիան՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի ստորին սահմանաչափում:

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Պարզեցնել:

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

Տարբերակել վերագրած x-ը

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$