Լուծեք ∫ (x-1)^{3}+(x-1)^{2}-x+x(4-x)(4+x)+(8-x-x^2)^2+x^2(17-x^2)

$$\int ( x - 1 ) ^ { 3 } + ( x - 1 ) ^ { 2 } - x + x ( 4 - x ) ( 4 + x ) + ( 8 - x - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } ( 17 - x ^ { 2 } )$$

Գնահատել

$$\frac{x^{4}}{2}+64x+С$$

Լուծման քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} միջոցով ընդարձակեք \left(x-1\right)^{3}:

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+\left(x-1\right)^{2}-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-1\right)^{2}:

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+x^{2}-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Համակցեք -3x^{2} և x^{2} և ստացեք -2x^{2}:

$$\int x^{3}-2x^{2}+3x-1-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Համակցեք 3x և -2x և ստացեք x:

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-1+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Գումարեք -1 և 1 և ստացեք 0:

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x 4-x-ով բազմապատկելու համար:

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+\left(4x-x^{2}\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4x-x^{2}-ը 4+x-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+16x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Համակցեք x և 16x և ստացեք 17x:

$$\int x^{3}-2x^{2}+17x-x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Համակցեք x^{3} և -x^{3} և ստացեք 0:

$$\int -2x^{2}+17x-x+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

8-x-x^{2}-ի քառակուսի:

$$\int -2x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-15x^{2}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Համակցեք -2x^{2} և -15x^{2} և ստացեք -17x^{2}:

$$\int -17x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Համակցեք 17x և -16x և ստացեք x:

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x^{2} 17-x^{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+17x^{2}-x^{4}\mathrm{d}x$$

Համակցեք -17x^{2} և 17x^{2} և ստացեք 0:

$$\int x-x+x^{4}+2x^{3}+64-x^{4}\mathrm{d}x$$

Համակցեք x^{4} և -x^{4} և ստացեք 0:

$$\int x-x+2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

Համակցեք x և -x և ստացեք 0:

$$\int 2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{3}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{4}}{4}-ով: Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{x^{4}}{4}:

$$\frac{x^{4}}{2}+\int 64\mathrm{d}x$$

Գտեք 64-ի ինտեգրալը՝ օգտագործելով ընդհանուր ինտեգրալների \int a\mathrm{d}x=ax կանոնի աղյուսակը։

$$\frac{x^{4}}{2}+64x$$

Եթե F\left(x\right)-ը f\left(x\right)-ի հակաածանցյալն է, ապաf\left(x\right)-ի բոլոր հակաածանցյալների հավաքածուն տրված է F\left(x\right)+C-ի կողմից։ Հետևաբար, ավելացրեք C\in \mathrm{R} ինտեգրացիայի հաստատունն արդյունքին։

$$64x+\frac{x^{4}}{2}+С$$

Տարբերակել վերագրած x-ը

$$2\left(x^{3}+32\right)$$