Լուծեք ∫ [a^2-5a+6/a^2+7a+6:(2a+10/a+1-a-1)+1/a+3]*2a^2+5a-3/2a^2

$$\int [ \frac { a ^ { 2 } - 5 a + 6 } { a ^ { 2 } + 7 a + 6 } : ( \frac { 2 a + 10 } { a + 1 } - a - 1 ) + \frac { 1 } { a + 3 } ] \cdot \frac { 2 a ^ { 2 } + 5 a - 3 } { 2 a ^ { 2 } }$$

Գնահատել

$$\frac{8ax-4x}{\left(a+6\right)a^{2}}+С$$

Լուծման քայլերը

Արտահայտությունները գումարելու կամ հանելու համար ընդարձակեք դրանք, որպեսզի հայտարարները նույնը դառնան: Բազմապատկեք -a-1 անգամ \frac{a+1}{a+1}:

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10}{a+1}+\frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \frac{2a+10}{a+1}-ը և \frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}-ը նույն հայտարարն ունեն, նրանց գումարը կարող եք ստանալ՝ գումարելով համարիչները:

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Կատարել բազմապատկումներ 2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)-ի մեջ:

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10-a^{2}-a-a-1}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Համակցել ինչպես 2a+10-a^{2}-a-a-1 թվերը:

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{9-a^{2}}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Բաժանեք \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}-ը \frac{9-a^{2}}{a+1}-ի վրա՝ բազմապատկելով \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}-ը \frac{9-a^{2}}{a+1}-ի հակադարձով:

$$\int \left(\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Ստացեք արտահայտությունների գործակիցները, որոնց գործակիցները դեռ ստացված չեն \frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}-ում:

$$\int \left(\frac{\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a-3\right)\left(-a-3\right)\left(a+1\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Չեղարկել \left(a-3\right)\left(a+1\right)-ը և համարիչում, և հայտարարում:

$$\int \left(\frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Արտահայտությունները գումարելու կամ հանելու համար ընդարձակեք դրանք, որպեսզի հայտարարները նույնը դառնան: \left(-a-3\right)\left(a+6\right)-ի և a+3-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը \left(a+3\right)\left(a+6\right) է: Բազմապատկեք \frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)} անգամ \frac{-1}{-1}: Բազմապատկեք \frac{1}{a+3} անգամ \frac{a+6}{a+6}:

$$\int \left(\frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}+\frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Քանի որ \frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}-ը և \frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}-ը նույն հայտարարն ունեն, նրանց գումարը կարող եք ստանալ՝ գումարելով համարիչները:

$$\int \frac{-\left(a-2\right)+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Կատարել բազմապատկումներ -\left(a-2\right)+a+6-ի մեջ:

$$\int \frac{-a+2+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Համակցել ինչպես -a+2+a+6 թվերը:

$$\int \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Բազմապատկեք \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} անգամ \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար:

$$\int \frac{8\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)\times 2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Չեղարկել 2-ը և համարիչում, և հայտարարում:

$$\int \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Ստացեք արտահայտությունների գործակիցները, որոնց գործակիցները դեռ ստացված չեն \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}-ում:

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Չեղարկել a+3-ը և համարիչում, և հայտարարում:

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2a-1-ով բազմապատկելու համար:

$$\int \frac{8a-4}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ a+6 a^{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$\int \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}\mathrm{d}x$$

Գտեք \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}-ի ինտեգրալը՝ օգտագործելով ընդհանուր ինտեգրալների \int a\mathrm{d}x=ax կանոնի աղյուսակը։

$$\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}x$$

Պարզեցնել:

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}$$

Եթե F\left(x\right)-ը f\left(x\right)-ի հակաածանցյալն է, ապաf\left(x\right)-ի բոլոր հակաածանցյալների հավաքածուն տրված է F\left(x\right)+C-ի կողմից։ Հետևաբար, ավելացրեք C\in \mathrm{R} ինտեգրացիայի հաստատունն արդյունքին։

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}+С$$

Տարբերակել վերագրած x-ը

$$\frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}$$