Լուծեք frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Գնահատել

$$8\sqrt{3}\approx 13.856406461$$

Լուծման քայլերը

Ռացիոնալացրեք \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}-ի հայտարարը՝ համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով 2+\sqrt{3}-ով:

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Դիտարկեք \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

2-ի քառակուսի: \sqrt{3}-ի քառակուսի:

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Հանեք 3 4-ից և ստացեք 1:

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Ցանկացած թիվ մեկի վրա բաժանելու դեպքում ստանում ենք նույն թիվը:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Բազմապատկեք 2+\sqrt{3} և 2+\sqrt{3}-ով և ստացեք \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Ռացիոնալացրեք \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}-ի հայտարարը՝ համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով 2-\sqrt{3}-ով:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Դիտարկեք \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

2-ի քառակուսի: \sqrt{3}-ի քառակուսի:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Հանեք 3 4-ից և ստացեք 1:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Ցանկացած թիվ մեկի վրա բաժանելու դեպքում ստանում ենք նույն թիվը:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Բազմապատկեք 2-\sqrt{3} և 2-\sqrt{3}-ով և ստացեք \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}:

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Գումարեք 4 և 3 և ստացեք 7:

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}:

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Գումարեք 4 և 3 և ստացեք 7:

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

7-4\sqrt{3}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

-4\sqrt{3} թվի հակադրությունը 4\sqrt{3} է:

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Հանեք 7 7-ից և ստացեք 0:

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Համակցեք 4\sqrt{3} և 4\sqrt{3} և ստացեք 8\sqrt{3}:

$$8\sqrt{3}$$