Լուծեք x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=14$$

$$y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 21-ով՝ 7,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+7y=105$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 14-ով:

$$-x+42y=364$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+7y=105$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-7y+105$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -7y+105:

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Փոխարինեք -\frac{7y}{3}+35-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+42y=364:

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -\frac{7y}{3}+35:

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Գումարեք \frac{7y}{3} 42y-ին:

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Գումարեք 35 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{133}{3}y=399$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{133}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով x=-\frac{7}{3}y+35-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{3} անգամ 9:

$$x=-21+35$$

Գումարեք 35 -21-ին:

$$x=14$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=14,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 21-ով՝ 7,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+7y=105$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 14-ով:

$$-x+42y=364$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=14,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 21-ով՝ 7,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3x+7y=105$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 14-ով:

$$-x+42y=364$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Պարզեցնել:

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Հանեք -3x+126y=1092 -3x-7y=-105-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Գումարեք -3x 3x-ին: -3x-ը և 3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-7y-126y=-105-1092$$

Գումարեք -7y -126y-ին:

$$-133y=-105-1092$$

Գումարեք -105 -1092-ին:

$$-133y=-1197$$

Բաժանեք երկու կողմերը -133-ի:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով -x+42y=364-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+42\times 9=364$$

Բազմապատկեք 42 անգամ 9:

$$-x+378=364$$

Հանեք 378 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=14$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=14,y=9$$