Լուծեք x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4.236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0.236067977$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը \left(x^{2}+1\right)^{2}-ով:

$$x^{2}-4x-1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -4-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

-4-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -1:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Գումարեք 16 4-ին:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Հանեք 20-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

-4 թվի հակադրությունը 4 է:

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 4 2\sqrt{5}-ին:

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Բաժանեք 4+2\sqrt{5}-ը 2-ի վրա:

$$x=\sqrt{5}+2$$

Այժմ լուծել x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{5} 4-ից:

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Բաժանեք 4-2\sqrt{5}-ը 2-ի վրա:

$$x=2-\sqrt{5}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը \left(x^{2}+1\right)^{2}-ով:

$$x^{2}-4x-1=0$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$x^{2}-4x=1$$

Բաժանեք -4-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -2-ը: Ապա գումարեք -2-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

-2-ի քառակուսի:

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Գումարեք 1 4-ին:

$$x^{2}-4x+4=5$$

Գործոն x^{2}-4x+4: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Պարզեցնել:

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$