Լուծեք frac{5-sqrt{7}}{5+sqrt{7}}+frac{5+sqrt{7}}{5-sqrt{7}}

$$\frac { 5 - \sqrt { 7 } } { 5 + \sqrt { 7 } } + \frac { 5 + \sqrt { 7 } } { 5 - \sqrt { 7 } }$$

Գնահատել

$$\frac{32}{9}\approx 3.555555556$$

Համառոտ լուծման քայլեր

Ռացիոնալացրեք \frac{5-\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}}-ի հայտարարը՝ համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով 5-\sqrt{7}-ով:

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Դիտարկեք \left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

5-ի քառակուսի: \sqrt{7}-ի քառակուսի:

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{25-7}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Հանեք 7 25-ից և ստացեք 18:

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Բազմապատկեք 5-\sqrt{7} և 5-\sqrt{7}-ով և ստացեք \left(5-\sqrt{7}\right)^{2}:

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5-\sqrt{7}\right)^{2}:

$$\frac{25-10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

\sqrt{7} թվի քառակուսին 7 է:

$$\frac{25-10\sqrt{7}+7}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Գումարեք 25 և 7 և ստացեք 32:

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Ռացիոնալացրեք \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}-ի հայտարարը՝ համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով 5+\sqrt{7}-ով:

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}$$

Դիտարկեք \left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

5-ի քառակուսի: \sqrt{7}-ի քառակուսի:

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{25-7}$$

Հանեք 7 25-ից և ստացեք 18:

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{18}$$

Բազմապատկեք 5+\sqrt{7} և 5+\sqrt{7}-ով և ստացեք \left(5+\sqrt{7}\right)^{2}:

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5+\sqrt{7}\right)^{2}:

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

\sqrt{7} թվի քառակուսին 7 է:

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+7}{18}$$

Գումարեք 25 և 7 և ստացեք 32:

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{32+10\sqrt{7}}{18}$$

Քանի որ \frac{32-10\sqrt{7}}{18}-ը և \frac{32+10\sqrt{7}}{18}-ը նույն հայտարարն ունեն, նրանց գումարը կարող եք ստանալ՝ գումարելով համարիչները:

$$\frac{32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}}{18}$$

Կատարել հաշվարկներ 32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}-ի մեջ:

$$\frac{64}{18}$$

Նվազեցնել \frac{64}{18} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$\frac{32}{9}$$

Բազմապատիկ

$$\frac{2 ^ {5}}{3 ^ {2}} = 3\frac{5}{9} = 3.5555555555555554$$