Լուծեք frac{4+sqrt{5}}{4-sqrt{5}}+frac{4-sqrt{5}}{4+sqrt{5}}

$$\frac { 4 + \sqrt { 5 } } { 4 - \sqrt { 5 } } + \frac { 4 - \sqrt { 5 } } { 4 + \sqrt { 5 } }$$

Գնահատել

$$\frac{42}{11}\approx 3.818181818$$

Համառոտ լուծման քայլեր

Ռացիոնալացրեք \frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}-ի հայտարարը՝ համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով 4+\sqrt{5}-ով:

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Դիտարկեք \left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

4-ի քառակուսի: \sqrt{5}-ի քառակուսի:

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{16-5}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Հանեք 5 16-ից և ստացեք 11:

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Բազմապատկեք 4+\sqrt{5} և 4+\sqrt{5}-ով և ստացեք \left(4+\sqrt{5}\right)^{2}:

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(4+\sqrt{5}\right)^{2}:

$$\frac{16+8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

\sqrt{5} թվի քառակուսին 5 է:

$$\frac{16+8\sqrt{5}+5}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Գումարեք 16 և 5 և ստացեք 21:

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Ռացիոնալացրեք \frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}-ի հայտարարը՝ համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով 4-\sqrt{5}-ով:

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}$$

Դիտարկեք \left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

4-ի քառակուսի: \sqrt{5}-ի քառակուսի:

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{16-5}$$

Հանեք 5 16-ից և ստացեք 11:

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{11}$$

Բազմապատկեք 4-\sqrt{5} և 4-\sqrt{5}-ով և ստացեք \left(4-\sqrt{5}\right)^{2}:

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(4-\sqrt{5}\right)^{2}:

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

\sqrt{5} թվի քառակուսին 5 է:

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+5}{11}$$

Գումարեք 16 և 5 և ստացեք 21:

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{21-8\sqrt{5}}{11}$$

Քանի որ \frac{21+8\sqrt{5}}{11}-ը և \frac{21-8\sqrt{5}}{11}-ը նույն հայտարարն ունեն, նրանց գումարը կարող եք ստանալ՝ գումարելով համարիչները:

$$\frac{21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}}{11}$$

Կատարել հաշվարկներ 21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}-ի մեջ:

$$\frac{42}{11}$$

Բազմապատիկ

$$\frac{2 \cdot 3 \cdot 7}{11} = 3\frac{9}{11} = 3.8181818181818183$$