Լուծեք 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Լուծել x-ի համար

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

x փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -1,1 արժեքներից որևէ մեկին, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք \left(x-1\right)\left(x+1\right)-ով՝ x+1,x-1,x^{2}-1-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x+1 2-ով բազմապատկելու համար:

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Համակցեք x և 2x և ստացեք 3x:

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Գումարեք -1 և 2 և ստացեք 1:

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Համակցեք 3x և -2x և ստացեք x:

$$x+1-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$-x^{2}+x+1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք -1-ը a-ով, 1-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

1-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -1:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Գումարեք 1 4-ին:

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1:

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -1 \sqrt{5}-ին:

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Բաժանեք -1+\sqrt{5}-ը -2-ի վրա:

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք \sqrt{5} -1-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Բաժանեք -1-\sqrt{5}-ը -2-ի վրա:

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

x փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -1,1 արժեքներից որևէ մեկին, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք \left(x-1\right)\left(x+1\right)-ով՝ x+1,x-1,x^{2}-1-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x+1 2-ով բազմապատկելու համար:

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Համակցեք x և 2x և ստացեք 3x:

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Գումարեք -1 և 2 և ստացեք 1:

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Համակցեք 3x և -2x և ստացեք x:

$$x+1-x^{2}=0$$

Հանեք 1 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x-x^{2}=-1$$

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$-x^{2}+x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Բաժանելով -1-ի՝ հետարկվում է -1-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Բաժանեք 1-ը -1-ի վրա:

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Բաժանեք -1-ը -1-ի վրա:

$$x^{2}-x=1$$

Բաժանեք -1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Գումարեք 1 \frac{1}{4}-ին:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Գործոն x^{2}-x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$