Լուծեք frac{(sqrt{5}-sqrt{2})(3sqrt{5}+sqrt{2})}{3sqrt{5}+2sqrt{2}}

$$\frac { ( \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } ) ( 3 \sqrt { 5 } + \sqrt { 2 } ) } { 3 \sqrt { 5 } + 2 \sqrt { 2 } }$$

Գնահատել

$$\frac{47\sqrt{5}-56\sqrt{2}}{37}\approx 0.699979336$$

Լուծման քայլերը

Ռացիոնալացրեք \frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{3\sqrt{5}+2\sqrt{2}}-ի հայտարարը՝ համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով 3\sqrt{5}-2\sqrt{2}-ով:

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}$$

Դիտարկեք \left(3\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Ընդարձակեք \left(3\sqrt{5}\right)^{2}:

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{3^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Հաշվեք 2-ի 3 աստիճանը և ստացեք 9:

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{9\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

\sqrt{5} թվի քառակուսին 5 է:

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{9\times 5-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Բազմապատկեք 9 և 5-ով և ստացեք 45:

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Ընդարձակեք \left(2\sqrt{2}\right)^{2}:

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

\sqrt{2} թվի քառակուսին 2 է:

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-4\times 2}$$

Բազմապատկեք 4 և 2-ով և ստացեք 8:

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-8}$$

Հանեք 8 45-ից և ստացեք 37:

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Գործադրեք բաժանիչ հատկությունը՝ բազմապատկելով \sqrt{5}-\sqrt{2}-ի յուրաքանչյուր արտահայտությունը 3\sqrt{5}+\sqrt{2}-ի յուրաքանչյուր արտահայտությամբ:

$$\frac{\left(3\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

\sqrt{5} թվի քառակուսին 5 է:

$$\frac{\left(3\times 5+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Բազմապատկեք 3 և 5-ով և ստացեք 15:

$$\frac{\left(15+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

\sqrt{5}-ը և \sqrt{2}-ը բազմապատկելու համար բազմապատկեք քառակուսի արմատի տակի անդամները:

$$\frac{\left(15+\sqrt{10}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

\sqrt{2}-ը և \sqrt{5}-ը բազմապատկելու համար բազմապատկեք քառակուսի արմատի տակի անդամները:

$$\frac{\left(15+\sqrt{10}-3\sqrt{10}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Համակցեք \sqrt{10} և -3\sqrt{10} և ստացեք -2\sqrt{10}:

$$\frac{\left(15-2\sqrt{10}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

\sqrt{2} թվի քառակուսին 2 է:

$$\frac{\left(15-2\sqrt{10}-2\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Հանեք 2 15-ից և ստացեք 13:

$$\frac{\left(13-2\sqrt{10}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

Գործադրեք բաժանիչ հատկությունը՝ բազմապատկելով 13-2\sqrt{10}-ի յուրաքանչյուր արտահայտությունը 3\sqrt{5}-2\sqrt{2}-ի յուրաքանչյուր արտահայտությամբ:

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\sqrt{10}\sqrt{5}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

Գործակից 10=5\times 2: Վերագրեք \sqrt{5\times 2} արտադրյալի քառակուսի արմատը որպես \sqrt{5}\sqrt{2} քառակուսի արմատների արտադրյալ:

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{5}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

Բազմապատկեք \sqrt{5} և \sqrt{5}-ով և ստացեք 5:

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\times 5\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

Բազմապատկեք -6 և 5-ով և ստացեք -30:

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-30\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

Համակցեք -26\sqrt{2} և -30\sqrt{2} և ստացեք -56\sqrt{2}:

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

Գործակից 10=2\times 5: Վերագրեք \sqrt{2\times 5} արտադրյալի քառակուսի արմատը որպես \sqrt{2}\sqrt{5} քառակուսի արմատների արտադրյալ:

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{5}}{37}$$

Բազմապատկեք \sqrt{2} և \sqrt{2}-ով և ստացեք 2:

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\times 2\sqrt{5}}{37}$$

Բազմապատկեք 4 և 2-ով և ստացեք 8:

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+8\sqrt{5}}{37}$$

Համակցեք 39\sqrt{5} և 8\sqrt{5} և ստացեք 47\sqrt{5}:

$$\frac{47\sqrt{5}-56\sqrt{2}}{37}$$