Riješi y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Izračunaj y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$y-3x=2$$

Dodajte 3x objema stranama jednadžbe.

$$y=3x+2$$

Supstituirajte 3x+2 s y u drugoj jednadžbi, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Pomnožite -2 i 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Dodaj -6x broju 7x.

$$x-4=8$$

Dodajte 4 objema stranama jednadžbe.

$$x=12$$

Supstituirajte 12 s x u izrazu y=3x+2. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=3\times 12+2$$

Pomnožite 3 i 12.

$$y=36+2$$

Dodaj 2 broju 36.

$$y=38$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=38,x=12$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=38,x=12$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Da biste izjednačili y i -2y, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s -2 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Pojednostavnite.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Oduzmite -2y+7x=8 od -2y+6x=-4 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Dodaj -2y broju 2y. Uvjeti -2y i 2y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$6x-7x=-4-8$$

Dodaj 6x broju -7x.

$$-x=-4-8$$

Dodaj -4 broju -8.

$$-x=-12$$

Podijelite obje strane sa -1.

$$x=12$$

Supstituirajte 12 s x u izrazu -2y+7x=8. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$-2y+7\times 12=8$$

Pomnožite 7 i 12.

$$-2y+84=8$$

Oduzmite 84 od obiju strana jednadžbe.

$$-2y=-76$$

Podijelite obje strane sa -2.

$$y=38$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=38,x=12$$