Riješi y=x-9;quady=5-x

$$y = x - 9 ; \quad y = 5 - x$$

Izračunaj y, x

$$x=7$$

$$y=-2$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite x od obiju strana.

$$y-x=-9$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte x na obje strane.

$$y+x=5$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$y-x=-9$$

Dodajte x objema stranama jednadžbe.

$$y=x-9$$

Supstituirajte x-9 s y u drugoj jednadžbi, y+x=5.

$$x-9+x=5$$

Dodaj x broju x.

$$2x-9=5$$

Dodajte 9 objema stranama jednadžbe.

$$2x=14$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$x=7$$

Supstituirajte 7 s x u izrazu y=x-9. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=7-9$$

Dodaj -9 broju 7.

$$y=-2$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=-2,x=7$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite x od obiju strana.

$$y-x=-9$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte x na obje strane.

$$y+x=5$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=-2,x=7$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite x od obiju strana.

$$y-x=-9$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Dodajte x na obje strane.

$$y+x=5$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Oduzmite y+x=5 od y-x=-9 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$y-y-x-x=-9-5$$

Dodaj y broju -y. Uvjeti y i -y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-x-x=-9-5$$

Dodaj -x broju -x.

$$-2x=-9-5$$

Dodaj -9 broju -5.

$$-2x=-14$$

Podijelite obje strane sa -2.

$$x=7$$

Supstituirajte 7 s x u izrazu y+x=5. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y+7=5$$

Oduzmite 7 od obiju strana jednadžbe.

$$y=-2$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=-2,x=7$$