Riješi y=xtext{and}7x+3y=10

$$y = x \text { and } 7 x + 3 y = 10$$

Izračunaj y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite x od obiju strana.

$$y-x=0$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$y-x=0,3y+7x=10$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$y-x=0$$

Dodajte x objema stranama jednadžbe.

$$y=x$$

Supstituirajte x s y u drugoj jednadžbi, 3y+7x=10.

$$3x+7x=10$$

Dodaj 3x broju 7x.

$$10x=10$$

Podijelite obje strane sa 10.

$$x=1$$

Supstituirajte 1 s x u izrazu y=x. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=1,x=1$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite x od obiju strana.

$$y-x=0$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$y-x=0,3y+7x=10$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-1\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-3\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 10\\\frac{1}{10}\times 10\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=1,x=1$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Oduzmite x od obiju strana.

$$y-x=0$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$y-x=0,3y+7x=10$$

Da biste izjednačili y i 3y, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 3 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 1.

$$3y+3\left(-1\right)x=0,3y+7x=10$$

Pojednostavnite.

$$3y-3x=0,3y+7x=10$$

Oduzmite 3y+7x=10 od 3y-3x=0 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$3y-3y-3x-7x=-10$$

Dodaj 3y broju -3y. Uvjeti 3y i -3y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-3x-7x=-10$$

Dodaj -3x broju -7x.

$$-10x=-10$$

Podijelite obje strane sa -10.

$$x=1$$

Supstituirajte 1 s x u izrazu 3y+7x=10. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$3y+7=10$$

Oduzmite 7 od obiju strana jednadžbe.

$$3y=3$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$y=1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=1,x=1$$